BAẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

     

Bất đẳng thức Cosi là trong những kiến thức toán học phổ biến, được sử dụng để giải các dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau cũng giống như tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team thuocmaxman.vn Education sẽ giúp đỡ các em nắm rõ hơn những kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, đến 3 số, dạng bao quát và hệ trái với một số trong những bài tập áp dụng có đáp án.

Bạn đang xem: Baất đẳng thức cô si


*

Bất đẳng thức Cosi là 1 trong bất đẳng thức cổ xưa trong toán học, khởi đầu từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng minh bởi nhà toán học fan pháp Augustin – Louis Cauchy. Xung quanh tên Cosi, nhiều người có cách gọi khác là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean với Geometric Mean).

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được màn trình diễn bằng dạng tổng thể hoặc dưới những dạng đặc biệt khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta rất có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned
Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Với những số thực dương x1, x2,…, xn ta có:

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn


học tập Toán Lớp 10 Online, Ôn Tập Lý, Hóa 10 Với cô giáo Giỏi

Dạng quánh biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn quan trọng đặc biệt khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát và các dạng sệt biệt, ta tất cả 2 hệ quả đặc trưng của bất đẳng thức Cauchy mà các em cần ghi nhớ bên dưới đây. Những hệ trái này hay được áp dụng nhiều trong việc tìm kiếm giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức.

Hệ trái 1: ví như tổng của 2 số dương không thay đổi thì tích của chúng lớn nhất lúc 2 số đó bằng nhau.Hệ trái 2: giả dụ tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này bé dại nhất lúc 2 số đó bằng nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a cùng b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn luôn đúng. Thời gian này, ta chỉ việc chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng với 2 số a, b dương.

Cách chứng minh như sau:


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm

Với a, b, c đều bởi 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúngVới a, b, c dương, ta minh chứng BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned
Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương


eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, vết bằng xẩy ra khi x = y = z hay a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm

Theo minh chứng bất đẳng thức Cosi cùng với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, cùng với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.

Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách minh chứng như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc thù quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là 1 lũy quá của 2.


định hướng Và Đồ Thị Của Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta minh chứng được nó luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi cùng với 2n số và (n – 1) số luôn luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng BĐT Cosi cùng với n số thực không âm luôn đúng.

Xem thêm: Có Bao Nhiêu Loại Thông Tin Cần Xử Lý Thông Tin, Có Mấy Dạng Thông Tin Cơ Bản

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy hội chứng minh:


left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8
Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều đề xuất chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c.

Dạng 2: thay đổi nhân chia, thêm, giảm một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, minh chứng rằng:


fracabc+fracbca+fracacbge a+b+c
Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều đề xuất chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.

Học livestream trực con đường Toán – Lý – Hóa – Văn đột phá điểm số 2022 – 2023 trên thuocmaxman.vn Education

thuocmaxman.vn Education là nền tảng học tập livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn đáng tin tưởng và hóa học lượng số 1 Việt Nam giành riêng cho học sinh từ bỏ lớp 8 đến lớp 12. Với văn bản chương trình huấn luyện bám tiếp giáp chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và Đào tạo, thuocmaxman.vn Education sẽ giúp các em đem lại căn bản, bứt phá điểm số và cải thiện thành tích học tập tập.

Tại thuocmaxman.vn, các em sẽ được đào tạo và huấn luyện bởi các thầy cô thuộc top 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều sở hữu học vị tự Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm tởm nghiệm huấn luyện và giảng dạy và có không ít thành tích xuất dung nhan trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, ngay sát gũi, những thầy cô để giúp đỡ các em tiếp thu kiến thức và kỹ năng một cách hối hả và dễ dàng dàng.


phương pháp tính Đạo Hàm Cos2x Và bài xích Tập áp dụng Có Đáp Án

thuocmaxman.vn Education còn có đội ngũ nắm vấn học tập chăm môn luôn luôn theo sát quy trình học tập của những em, cung cấp các em đáp án mọi vướng mắc trong quá trình học tập và cá thể hóa lộ trình tiếp thu kiến thức của mình.

Với vận dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng căn nguyên công nghệ, từng lớp học tập của thuocmaxman.vn Education luôn bảo đảm đường truyền bình ổn chống giật/lag tối đa với chất lượng hình hình ảnh và âm thanh xuất sắc nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực đường mô bỏng lớp học tập offline, các em có thể tương tác thẳng với giáo viên tiện lợi như khi tham gia học tại trường.

Khi thay đổi học viên tại thuocmaxman.vn Education, các em còn nhận ra các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học tập được biên soạn chi tiết, tinh tế và chỉn chu giúp những em học tập cùng ghi nhớ kiến thức thuận tiện hơn.

Xem thêm: Hoa Màu Tím Dáng Thẳng Ngay Tên Như Tiếng Nổ Buồn Thay Ơi Người Là Hoa Gì

thuocmaxman.vn Education cam đoan đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm mang đến học viên. Còn nếu như không đạt điểm số như cam kết, thuocmaxman.vn sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng cam kết học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại thuocmaxman.vn Education ngay hôm nay để thừa hưởng mức chi phí khóa học siêu ưu đãi lên tới mức 39% sút từ 699K chỉ từ 399K.