Bài 75 Trang 106 Sgk Toán 8

     
Giải bài xích 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng các trung điểm của tứ cạnh của một hình chữ nhật là những đỉnh của hình thoi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

*


Lời giải đưa ra tiết

*

Giả sử hình chữ nhật (ABCD) tất cả (E,F,G,H) theo lần lượt là trung điểm của (AB,BC,CD,DA)

Bốn tam giác vuông (EAH, EBF, GDH, GCF) có:

(AE = BE = DG = CG) ( = (dfrac12AB) = (dfrac12CD) )

(HA = FB = DH = CF) ( = (dfrac12AD = dfrac12BC) )

Xét (∆EAH) và (∆EBF) có:

(left{ eginarraylA mE = BEleft( cmt ight)\widehat A = widehat B = 90^0left( gt ight)\AH = BFleft( cmt ight)endarray ight.)

( Rightarrow Delta AHE = Delta BEFleft( c - g - c ight))

( Rightarrow ) (EH = EF ) (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét (∆HDG) và (∆FCG) có:

(left{ eginarraylH mD = FCleft( cmt ight)\widehat D = widehat C = 90^0left( gt ight)\DG = CGleft( cmt ight)endarray ight.)

( Rightarrow Delta HDG = Delta FCGleft( c - g - c ight))

( Rightarrow ) (GH = GF ) (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét (∆AHE) và (∆DHG) có:

(left{ eginarraylH mA = HDleft( cmt ight)\widehat A = widehat D = 90^0left( gt ight)\AE = DGleft( cmt ight)endarray ight. )

(Rightarrow Delta AHE = Delta DHGleft( c - g - c ight))

( Rightarrow ) (EH = HG ) (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) ( Rightarrow HE=EF = HG = GF) 

( Rightarrow ) (EFGH) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên) 

Cách khác:

* Xét tam giác (ABD) có (E) với (H) theo lần lượt là trung điểm của (AB) với (AD)

Suy ra (EH) là con đường trung bình của tam giác

Từ đó (EH=dfracBD2) (*)

Chứng minh tương tự ta có: (GF=dfracBD2), (EF=dfracAC2), (HG=dfracAC2) (**)