Bài Tập Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1

     

Dạng toán hệ phương trình đối xứng là một trong những dạng bài xích tập lộ diện trong đề thi Toán tuyển sinh vào 10 các trường chuyên. Hệ PT đối xứng chia nhỏ ra làm 2 dạng là các loại 1 và các loại 2.

Bạn đang xem: Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

Dưới đó là lý thuyết và bài xích tập về chăm đề này.

Xem thêm: Toán 12 Bài 1 Trang 23 Sgk Giải Tích 12, Bài Tập 1 Trang 23 Sgk Giải Tích 12 (Bài 3

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào định hướng đa thức đối xứng. – Phương trình $ displaystyle n$ ẩn $ displaystyle x_1,x_2, ext …,x_n$ gọi là đối xứng với $ displaystyle n$ ẩn nếu nạm $ displaystyle x_i$ bởi $ displaystyle x_j;~x_j$ bởi $ displaystyle x_i$ thì phương trình không cụ đổi. – lúc ấy phương trình luôn được trình diễn dưới dạng: $ displaystyle x_1+x_2+ ext … ext +x_n$ $ displaystyle x_1x_2+x_1x_3+ ext … ext +x_1x_n+x_2x_1+x_2x_3+ ext … ext +x_n-1x_n$ …………………………. $ displaystyle x_1x_2…x_n$ – Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong số đó gồm những phương trình đối xứng. – Để giải được hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 ta nên dùng định lý Viét. * Nếu đa thức $ displaystyle Fleft( x ight) ext =a_0x^n~+a_1x^n^-1+…a_n,a_0 e ext 0,a_iin P$ có nghiệm bên trên $ displaystyle P$ là $ displaystyle c_1, ext …,c_n$ thì: $ displaystyle left{ eginarraylc_1+c_2+… ext +c_n=-fraca_1a_0\c_1c_2+c_1c_3+ ext … ext +c_1c_n+c_2c_1+c_2c_3+… ext +c_n-1c_n=fraca_2a_0\………………………….\c_1c_1 ext … ext c_n=(-1)^n.fraca_na_0endarray ight.$ (Định lý Viét tổng quát) Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng các loại 1 nhì ẩn: 1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: ví như phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: $ displaystyle left{ eginarraylS=x_1+x_2 ext =-fracba\P=x_1.x_2=fraccaendarray ight.$ Ngược lại, ví như 2 số x1, x2  có $ displaystyle left{ eginarrayl ext x_1+x_2=S\ ext x_1.x_2=Pendarray ight.$ thì $ displaystyle x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $ displaystyle X^2-SX ext +P= ext 0.$ 2. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 nhì ẩn bao gồm dạng $ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0\g(x,y)=0endarray ight.$, trong những số ấy $ left{ eginarraylf(x,y)=f(y,x)\g(x,y)=g(y,x)endarray ight.$. 3. Biện pháp giải: bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với đk của S, P và $ S^2ge 4P$. Bước 3: thay $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ kiếm tìm $ displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $ displaystyle x,y$. Chú ý: + yêu cầu nhớ: $ displaystyle x^2+y^2=S^2 ext 2P,x^3+y^3=S^3 ext 3SP.$ + Đôi khi ta phải kê ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v, ext P ext =uv.$ + có những hệ phương trình phát triển thành đối xứng một số loại 1 sau khoản thời gian đặt ẩn phụ. 4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx^2y+xy^2=30\x^3+y^3=35endarray ight.$. GIẢI Đặt $ extS=x+y, ext P=xy$, đk $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylSP=30\S(S^2-3P)=35endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylP=frac30S\Sleft( S^2-frac90S ight)=35endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS=5\P=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx+y=5\xy=6endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=2\y=3endarray ight.vee left{ eginarraylx=3\y=2endarray ight.$ Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylxy(x-y)=-2\x^3-y^3=2endarray ight.$. GIẢI Đặt $ t=-y, ext S=x+t, ext P=xt$, điều kiện $ S^2ge 4P$. Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylxt(x+t)=2\x^3+t^3=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylSP=2\S^3-3SP=2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS=2\P=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\t=1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=-1endarray ight.$ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+frac1x+frac1y=4\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=4endarray ight.$. GIẢI Điều khiếu nại $ x e 0,y e 0$. Hệ phương trình tương tự với: $ left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)^2+left( y+frac1y ight)^2=8endarray ight.$ Đặt $ S=left( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight),P=left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight),S^2ge 4P$ ta có: $ left{ eginarraylS=4\S^2-2P=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=4\P=4endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x+frac1x ight)+left( y+frac1y ight)=4\left( x+frac1x ight)left( y+frac1y ight)=4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx+frac1x=2\y+frac1y=2endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=1\y=1endarray ight.$ Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $ left{ eginarraylsqrtx^2+y^2+sqrt2xy=8sqrt2,, ext (1)\sqrtx+sqrty=4 ext ,,,, ext , ext , ext (2)endarray ight.$. GIẢI Điều kiện $ x,yge 0$. Đặt $ t=sqrtxyge 0$, ta có: $ xy=t^2$ và $ (2)Rightarrow x+y=16-2t$. Vắt vào (1), ta được: $ sqrtt^2-32t+128=8-tLeftrightarrow t=4$ Suy ra: $ left{ eginarraylxy=16\x+y=8endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=4\y=4endarray ight.$ Loại 2: Điều kiện tham số nhằm hệ đối xứng các loại (kiểu) 1 gồm nghiệm Phương pháp giải chung: + bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). + cách 2: Đặt $ displaystyle S=x+y,P=xy$ với điều kiện của $ displaystyle S,P$ với (*) + cách 3: nắm $ displaystyle x,y$ bởi $ displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $ displaystyle S,P$ theo $ displaystyle m$ rồi từ đk (*) tra cứu $ displaystyle m$. Chú ý: khi ta để ẩn phụ $ displaystyle u=uleft( x ight),v=vleft( x ight)$ và $ displaystyle S=u+v,P=uv$ thì nhớ tìm chính xác điều kiện của $ displaystyle u,v$. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau tất cả nghiệm thực: $ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.$ GIẢI Điều khiếu nại $ x,yge 0$ ta có: $ left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\xsqrtx+ysqrty=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylsqrtx+sqrty=1\(sqrtx)^3+(sqrty)^3=1-3mendarray ight.$ Đặt $ S=sqrtx+sqrtyge 0,P=sqrtxyge 0$, $ S^2ge 4P.$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylS=1\S^3-3SP=1-3mendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylS=1\P=mendarray ight.$. Từ điều kiện $ Sge 0,Pge 0,S^2ge 4P$ ta có $ 0le mle frac14$. Ví dụ 2.

Xem thêm: Cách Tính Tỉ Số Truyền Bánh Răng, Cách Tính Tỷ Số Truyền Bánh Răng

Tìm đk $ displaystyle m$ để hệ phương trình $ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.$ có nghiệm thực. GIẢI $ left{ eginarraylx+y+xy=m\x^2y+xy^2=3m-9endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarrayl(x+y)+xy=m\xy(x+y)=3m-9endarray ight.$. Đặt $ displaystyle S ext = ext x ext + ext y, ext P ext = ext xy,$ Hệ phương trình trở thành: $ left{ eginarraylS+P=m\SP=3m-9endarray ight.$. Suy ra $ displaystyle S$ và $ displaystyle P$ là nghiệm của phương trình $ t^2-mt+3m-9=0$. $ Rightarrow left{ eginarraylS=3\P=m-3endarray ight.vee left{ eginarraylS=m-3\P=3endarray ight.$ Từ đk ta suy ra hệ bao gồm nghiệm $ Leftrightarrow left< eginarrayl3^2ge 4(m-3)\(m-3)^2ge 12endarray ight.Leftrightarrow mle frac214vee mge 3+2sqrt3$. Loại 3: một số bài toán giải bằng phương pháp đưa về hệ phương trình. Lấy ví dụ như 1. Giải phương trình: $ displaystyle sqrt<3>x+sqrt<3>1-x ext =frac32$. GIẢI Đặt: $ displaystyle left{ eginarraylsqrt<3>x=u\sqrt<3>1-x=vendarray ight.$ . Vậy ta có hệ: $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\u^3+v^3=1endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v=frac32\(u+v)left< (u+v)^2-3uv ight>=1endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu+v ext =frac32\u.v ext =frac1936endarray ight.$ u, v là nhị nghiệm của phương trình: $ displaystyle X^2-frac32X ext +frac1936 ext = ext 0$ ⇒ $ displaystyle left< eginarraylu ext =frac9+sqrt512\u ext =frac9 ext - ext sqrt512endarray ight.$ ⇒ $ displaystyle left< eginarraylx ext = ext left( frac9 ext + ext sqrt512 ight)^3\x ext = ext left( frac9 ext - ext sqrt512 ight)^3endarray ight.$ Vậy phương trình gồm hai nghiệm: $ displaystyle left x ight$ = $ displaystyle left left( frac9+sqrt512 ight)^3; ext left( frac9-sqrt512 ight)^3 ight$.

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 hai ẨN

A. Định nghĩa: $ displaystyle left{ eginarraylf(x,y)=0,,,left( 1 ight)\f(y,x)=0,,,left( 2 ight)endarray ight.$ giải pháp giải: rước (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ displaystyle (x-y)gleft( x,y ight)=0$. Lúc ấy $ displaystyle x-y=0$ hoặc $ displaystyle gleft( x,y ight)=0.$ + Trường hòa hợp 1: $ displaystyle x-y=0$ kết phù hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm. + Trường đúng theo 2: $ displaystyle gleft( x,y ight)=0$ kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường vừa lòng này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thường thì vô nghiệm. B. Những ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx^3=3x+8y,,,left( 1 ight)\y^3=3y+8x,,,left( 2 ight)endarray ight.$ (I) GIẢI rước (1) – (2) ta được: $ displaystyle ext(x – y)( extx^ ext2 ext + xy + exty^ ext2 ext + 5) = 0$ Trường hợp 1: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^3 ext = ext 3x ext + ext 8y\x ext = ext yendarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylx^3 ext - ext 11x ext = ext 0\x ext = ext yendarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx ext = ext 0\x ext = ext pm sqrt11endarray ight.\x ext = ext yendarray ight.$. Trường vừa lòng 2: (I) $ displaystyle Leftrightarrow left{ eginarraylx^2+xy+y^2+5=0\x^3+y^3=11left( x+y ight)endarray ight.$ (hệ này vô nghiệm) Vậy hệ phương trình sẽ cho có tập nghiệm: $ displaystyle left ext(x ext, y) ight\text=left ext(0 ext,0); (sqrt ext11 ext,sqrt ext11 ext); (-sqrt ext11 ext,-sqrt ext11 ext) ight$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ eginarraylx+sqrt<4>y-1=1\y+sqrt<4>x-1=1endarray ight.$ GIẢI Đặt: $ displaystyle sqrt< ext4> extx – 1 ext = u ge ext0; sqrt< ext4> exty – 1 ext = vge ext0$ Hệ phương trình trở thành: $ displaystyle left{ eginarraylu^4 ext + ext 1 ext + ext v ext = ext 1\v^4 ext + ext 1 ext + ext u ext = ext 1endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylu^4 ext + ext v ext = ext 0\v^4 ext + ext u ext = ext 0endarray ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ eginarraylu ext = ext 0\v ext = ext 0endarray ight.$ (Do u, v ≥ 0) $ displaystyle Rightarrow left{ eginarrayl extx = 1\ exty = 1endarray ight.$. Vậy hệ bao gồm nghiệm (1,1)