Công Thức Tính Tổng Dãy Số Có Quy Luật

     

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Để tính được tổng hàng số lũy thừa gồm quy luật thì cần phải bao gồm phương pháp giải. Đó là những phương pháp:

1. Phương pháp quy nạp

*
*

2. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

*
*

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với những dạng toán dưới đây, những em sử dụng phương pháp tính nêu ở bên trên để áp dụng vào giải.

Bạn đang xem: Công thức tính tổng dãy số có quy luật

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100(*)

Hướng dẫn:

Cách 1:Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 2100)

⇒ S = 1 + 2(S 2100) = 1+2S 2101

⇒ S = 2101 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101(**)

Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101 1.

Tổng quát đến dạng toán này như sau:

$S_n=1+a+a^2+ldots+a^n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $S_n=dfraca^n+1-1a-1$

Ví dụ 2:Tính:

S =1 2 + 22 23 + 24 . . . 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có:

2S = 2(1 2 +22 23 + 24. . . 299 + 2100)

⇔2S = 2 22 + 23 24 + 25. . . 2100 + 2101

⇔2S S = (2 22 + 23 24 + 25. . . 2100 + 2101) (1 2 + 22 23 + 24 . . . 299 + 2100)

⇔ 3S =2101 + 1.

⇔ $S=dfrac2^101+13$

Tổng quát mang đến dạng toán này như sau:

$S_n=1-a+a^2-a^3+ldots-a^2 n-1+a^2 n ;(a, n in mathbbN, a>1, n geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_n=fraca^2 n+1+1a+1$

Ví dụ 3:Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100(*)

Hướng dẫn:

Với việc này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số làm sao đó nhưng mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

Đối với bài bác này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp phương pháp nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

Xem thêm: Lời Bài Hát Khi Em Qua Thung Lũng, Và Bóng Đêm Ghì Bàn Chân

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

Ta Trừ vế với vế của (**) đến (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 1

⇔ $S=dfrac3^102-18$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_n=1+a^d+a^2 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_n=dfraca^(n+1) d-1a^d-1$

Ví dụ 4:Tính:

S = 1 23 + 26 29 . . . +296 299(*)

Hướng dẫn:

Lũy thừa các số liên tiếp giải pháp nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23ta được:

23.S = 23.(1 23 + 26 29 +. . .+ 296 299)

⇒ 8S = 23 26 + 29 212 +. . . +299 2102(**)

Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 26 + 29 212 +. . . +299 2102) (1 23 + 26 29 +. . .+ 296 299)

⇔ 9S = 1 2102 ⇔ $S=dfrac1-2^1029$

Tổng quát mang lại dạng toán này như sau:

$S_n=1-a^d+a^2 d-a^3 d+ldots+a^n d ;(a, n, d in mathbbN ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$S_n=dfrac1-a^(n+1) da^d+1$

2. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng những số hạng của hàng số biện pháp đều

Để đếm được số hạng của 1 dãy số mà lại 2 số hạng liên tiếp giải pháp đều nhau 1 số đơn vị ta sử dụng công thức:

Số số hạng = <(số cuối số đầu) : (khoảng cách)> + 1

Để tính Tổng các số hạng của một dãy nhưng mà 2 số hạng liên tiếp biện pháp đều nhau 1 số đơn vị ta cần sử dụng công thức:

Tổng = <(số đầu + số cuối) . (số số hạng)> : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400.

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (59-2):3+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610.

Xem thêm: Em Hãy Tả Bạn Thân Lớp 6 Bài Văn Tả Bạn Thân Lớp 6 Hay Chọn Lọc

3. Dạng toán tổng hợp vận dụng những tổng đã biết

Ký hiệu: $sum_i=1^n a_i=a_1+a_2+ldots+a_n$

Tính chất:

$sum_i=1^nleft(a_i+b_i ight)=sum_i=1^n a_i+sum_i=1^n b_i$

$sum_i=1^n a cdot a_i=a sum_i=1^n a_i$

Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

Hướng dẫn:

Ta có: $S_n=sum_i=1^n i(i+1)=sum_i=1^nleft(i^2+i ight)=sum_i=1^n i^2+sum_i=1^n i$

Mặt khác, lại có:

$sum_i=1^n i=1+2+3+ldots+n=fracn(n+1)2$(theo PP quy nạp ở mục I).

$sum_i=1^n i^2=dfracn(n+1)(n+2)6$ (theo PP quy nạp ở mục I)

⇒ $S_n=dfracn(n+2)2+dfracn(n+1)(n+2)6=dfracn(n+1)(n+2)3$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài 2:Tính các tổng sau:

a)S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … + 95 +101

c)$S=dfrac11cdot 2+dfrac123+dfrac13cdot 4 ldots+dfrac149cdot 50$

d)$S=dfrac65cdot 7+dfrac679+dfrac69cdot 11+ldots+dfrac657cdot 59$

Bài 3:Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … + (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b)$dfrac12+dfrac14+dfrac18+ldots+dfrac12^0=1-dfrac120$