Giải hệ phương trình đối xứng

     

Hệ phương trình đối xứng là 1 dạng toán thường chạm mặt trong lịch trình thi tuyển chọn sinh lớp 10 tương tự như thi giỏi nghiệp trung học phổ thông Quốc gia. Vậy hệ phương trình đối xứng là gì? các dạng hệ phương trình đối xứng và cách thức giải? cách nhận biết cũng giống như lý thuyết và bài xích tập hệ phương trình đối xứng loại 1, nhiều loại 2?… trong nội dung bài viết dưới đây, thuocmaxman.vn sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng về chủ thể này nhé!


Mục lục

2 biện pháp phân các loại hệ phương trình đối xứng3 Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng 4 Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 6 Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 28 Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình nhưng mà khi ta thay đổi vai trò của ( x,y ) cho nhau thì hệ phương trình không cụ đổi. Vào đó bọn họ chia có tác dụng hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản là các loại 1 và nhiều loại 2.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng


Cách phân các loại hệ phương trình đối xứng

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?

Là hệ phương trình mà lại khi ta biến đổi vai trò ( x;y ) thì từng phương trình không biến hóa hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng một số loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn ( x;y ) đối xứng trong những phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.) trong đó: (left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)=g(y;x) endmatrix ight.)

Hệ phương trình đối xứng một số loại 1 nhì ẩn

*

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng một số loại 2 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta biến hóa vai trò ( x;y ) thì phương trình này biến chuyển phương trình cơ và ngược lại hay nói phương pháp khác, hệ phương trình đối xứng các loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình gồm 2 phương trình đối xứng nhau

(left{eginmatrix f(x;y)=0\f(y;x)=0 endmatrix ight.)

Hệ phương trình đối xứng một số loại 2 hai ẩn

*

*

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng 

Cách phân biệt hệ phương trình đối xứng loại 1

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng một số loại 1 thì bọn họ xét từng phương trình, thử thay đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) xem phương trình new thu được có giống hệt như phương trình ban sơ hay không.

Ví dụ:

Hệ (left{eginmatrix x^2+2x+2y+y^2-1=0 \ x^3+y^3+xy=1 endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng một số loại 1.

Hệ (left{eginmatrix x^3-y^3+xy=1\ x^2+2xy+x+y+y^2=3 endmatrix ight.) chưa phải là hệ phương trình đối xứng các loại 1.

Cách nhận thấy hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2

Để phân biệt hệ phương trình đối xứng một số loại 1 thì bọn họ xét phương trình máy nhất, thử đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) xem phương trình bắt đầu thu được có hệt như phương trình trang bị hai tuyệt không? Làm giống như với phương trình trang bị hai.

Ví dụ:

Hệ (left{eginmatrix x^3-x^2y=x\ y^3-xy^2=y endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng các loại 2

Hệ (left{eginmatrix x^2-xy=y\ y^2+xy=x endmatrix ight.) ko là hệ phương trình đối xứng

Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng loại 1 

Phương pháp để ẩn tổng tích

Đây là phương pháp chung nhằm giải các hệ phương trình đối xứng một số loại 1.

Bước 1: Đặt ( S=x+y ; P=x.y ) . đổi khác từng phương trình về phương trình mới theo ( 2 ) ẩn ( S;P )Bước 2: Giải hệ phương trình tìm ra ( S;P ) vừa lòng ( S^2 geq 4P )

Để đổi khác được hệ phương trình về dạng ( S;P ) thì ta nên nhớ một vài ba đẳng thức quan liêu trọng:

( x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy =S^2-2P )

(|x-y| =sqrt(x+y)^2-4xy=sqrtS^2-4P)

(x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=S(S^2-3P))

***Chú ý: trường hợp ( (x;y)=(a;b) ) là nghiệm của hệ phương trình thì ( (x;y) =(b;a) ) cũng chính là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+xy+y=2\ x^2+xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Cách giải:

Đặt ( S=x+y ; P=xy ). ĐK : ( S^2 geq 4P )

Thay vào hệ phương trình ta được:

(left{eginmatrix S+P=2\ S^2-P=4 endmatrix ight.)

Thay ( -P=S-2 ) vào phương trình dưới ta được :

( S^2+S-6=0 Leftrightarrow (S-2)(S+3)=0 )

(Leftrightarrow left<eginarrayl S=2 ; p =0\S=-3 ; P=5endarray ight.)

Kiểm tra điều kiện ( S^2 geq 4P ), vậy (left{eginmatrix S=2\ P=0 endmatrix ight.)

Vậy ( x;y ) là nghiệm của phương trình ( t^2-2t =0 )

(Leftrightarrow left<eginarraylt=0 \t=2 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình đã cho bao gồm hai cặp nghiệm ( (x;y) = ( 0;2) ; (2;0) )

Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đây là cách thức để giải những bài toán hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 khó. Mọi hệ này nếu nhìn qua thì ta đã thấy nó không hẳn là đối xứng. Tuy vậy khi bọn họ đặt ẩn phụ một giải pháp thích hợp, việc sẽ biến chuyển hệ phương trình đối xứng các loại 1. Từ đó chúng ta cũng có thể giải một biện pháp dễ dàng.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình : (left{eginmatrix x(x+2)(2x+y)-9=0\ x^2+4x+y=6 endmatrix ight.)

Cách giải:

Đặt ( x^2+2x= a ; 2x+y=b ). Rứa vào hệ đã mang lại ta được :

(left{eginmatrix ab=9 \a+b =6 endmatrix ight.)

Vậy ( a;b ) là nghiệm của phương trình :

( t^2-6t+9= 0 Leftrightarrow (t-3)^2=0 Leftrightarrow t=3 )

Vậy ( a=b=3 )

Thay vào ta được:

(left{eginmatrix x^2+2x=3\2x+y=3 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x+3)(x-1)=0\ 2x+y=3 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left<eginarraylleft{eginmatrix x=-3\y=9 endmatrix ight.\ left{eginmatrix x=1\y=1 endmatrix ight. endarray ight.)

Vậy phương trình sẽ cho bao gồm ( 2 ) cặp nghiệm :

( (x;y) =(-3;9) ; (1;1) )

Giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 cất căn 

Với đầy đủ hệ phương trình này, cách giải vẫn bao gồm các bước như bên trên nhưng họ cần thêm bước tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đang cho tương đương với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) tự PT (1) vào PT (2) ta gồm :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết đúng theo ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện). 

Bài tập hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1

*

*

*

Sau đây là một số bài bác tập để chúng ta luyện tập phần hệ phương trình đối xứng các loại 1.

Xem thêm: Top 6 Bài Văn Cảm Nghĩ Về Mái Trường Và Thầy Cô Và Mái Trường

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=7\x^2+y^2+x+y=8 endmatrix ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;2) ;(2;1) ; (1;-3) ; (-3;1) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+y+frac1x+frac1y=5\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=9 endmatrix ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;frac3+sqrt52);(frac3+sqrt52;1);(1;frac3-sqrt52);(frac3-sqrt52;1))

Bài 3: tìm ( m ) nhằm hệ gồm đúng ( 2 ) nghiệm :

(left{eginmatrix (x+y)^2=4\ x^2+y^2=2m+2 endmatrix ight.)

Đáp số : ( m=0 )

Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2

Phương pháp trừ nhị vế

Đây là cách thức chung nhằm giải phương trình đối xứng nhiều loại 2.

Bước 1: Trừ hai vế khớp ứng của hai phương trình, thay đổi phương trình thu được về dạng phương trình tích: ( (x-y).f(x;y) =0 )Bước 2: Giải phương trình ( f(x;y) =0 ) để tìm mối quan hệ ( x;y ). Sau đó thay vào một phương trình trong hệ ban đầu để giải ra ( x;y ) (chú ý nỗ lực cả trường thích hợp ( x-y=0 ) )Bước 3: tóm lại nghiệm.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^3=3x+8y\ y^3=3y+8x endmatrix ight.)

Cách giải:

Để giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2 bậc 3 này thì họ cần ghi ghi nhớ hằng đẳng thức : ( A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2) )

Trừ hai vế của nhị phương trình ta được :

((x^3-y^3)+5(x-y)=0 Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+5)=0 ;;;; (1) )

Ta gồm : (x^2+xy+y^2+5= (x+fracy2)^2+frac3y^24+5 geq 5 >0)

Vậy từ ((1) Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(x^3=11x Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt11 endarray ight.)

Vậy phương trình đang cho bao gồm ( 3 ) cặp nghiệm thỏa mãn nhu cầu : ( (x;y) =(0;0) ; (sqrt11;sqrt11) ; (-sqrt11;-sqrt11) )

Phương pháp hàm số

Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là một trong những dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh có ( 2 ) ẩn dạng:

(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(x) endmatrix ight.)

Nếu ta chứng minh được hàm số ( f(t) ; g(t) ) thuộc đồng phát triển thành thì đưa sử ( xleq y ) ta tất cả :

( f(x) leq f(y) =g(x) leq g(y) )

Mà khía cạnh khác do ( f(x) =g(y) ) buộc phải đẳng thức xảy ra. Vậy ( f(x)=g(x) ). Giải phương trình chiếm được x , từ kia tìm ra nghiệm của hệ phương trình

***Chú ý: vào trường đúng theo hàm ( f(t);g(t) ) cùng nghịch biến chuyển thì có tác dụng tương tự

Đây cũng là phương thức để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh những ẩn:

(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(z)\f(z)=g(x) endmatrix ight.)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^3+x=3y\y^3+y=3x endmatrix ight.)

Cách giải:

Xét hàm số ( f(t) =t^3+t ) và hàm số ( g(t) = 3t )

Dễ thấy cả ( f(t) ; g(t) ) phần đông đồng biến. Vì đó, trả sử ( xleq y ), tự hệ phương trình đã cho ta tất cả :

( f(x) leq f(y) = g(x) leq g(y) )

Mà bởi ( f(x) =g(y) ) ( theo hệ phương trình ) nên đẳng thức xảy ra, vậy ( f(x) =g(x) )

Do đó : ( x^3+x=3x Leftrightarrow x(x^2-2)=0 )

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt2 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình có ( 3 ) cặp nghiệm ((x;y)=(0;0);(sqrt2;sqrt2);(-sqrt2;-sqrt2))

Giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2 chứa căn

Đây là 1 dạng hệ phương trình đối xứng một số loại 2 cực nhọc do bao gồm căn thức bắt buộc nều trừ thẳng như cách thông thường thì đang không lộ diện biểu trang bị ( (x-y) ) ngay. Vị đó bọn họ cần cần sử dụng phương thức nhân phối hợp để chuyển đổi tạo ra nhân tử ( (x-y) ). Một số biến đổi cần xem xét :

(sqrta-sqrtb = fraca-bsqrta+sqrtb)

(sqrt<3>a-sqrt<3>b=fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ngoài ra bọn họ có để sử dụng cách thức đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn để tạo nên hệ bắt đầu không cất căn.

***Chú ý: soát sổ ĐKXĐ trước lúc giải.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình (left{eginmatrix sqrtx+5+sqrty-2=7\ sqrty+5+sqrtx-2=7 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( x;y geq 2 )

Trừ nhì vế của nhị phương trình ta được : ((sqrtx+5-sqrty+5)-(sqrtx-2-sqrty-2)=0)

(Leftrightarrow (x-y)(frac1sqrtx+5+sqrty+5-frac1sqrtx-2+sqrty-2)=0 ;;;;; (1) )

Ta có:

(left{eginmatrix sqrtx+5>sqrtx-2\ sqrty+5>sqrty-2 endmatrix ight. Rightarrow sqrtx+5+sqrty+5>sqrtx-2+sqrty-2)

(Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5

Vậy (Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5 -frac1sqrtx-2+sqrty-2

Do kia từ ((1)Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(sqrtx+5+sqrtx-2=7 Leftrightarrow 2x+3+2sqrtx^2+3x-10=49)

(Leftrightarrow 23-x=sqrtx^2+3x-10 Rightarrow x^2-46x+529=x^2+3x-10)

(Rightarrow 49x=539 Rightarrow x=11) ( thỏa mãn)

Vậy ( x=y=11 )

Bài tập về hệ phương trình đối xứng các loại 2

*

*

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình bên dưới đây.

*

Vậy hệ phương trình vẫn cho có nghiệm x = y = 3

*

*

*

*

*

Sau đây là một số bài bác tập để chúng ta luyện tập phần hệ phương trình đối xứng một số loại 2.

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix 2x+3+sqrt4-y=4\ 2y+3+sqrt4-x=4 endmatrix ight.)

Đáp số: ( (x;y) = (3;3) ; (frac119;frac119) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+sqrt<4>y-1=1\ y+sqrt<4>x-1=1 endmatrix ight.)

Đáp số ( x=y=1 )

Bài 3:

Tìm ( m ) nhằm hệ phương trình sau bao gồm nghiệm duy nhất

(left{eginmatrix x^2-x-y+m=0 \ y^2-y-x+m=0 endmatrix ight.)

Đáp số : ( m=1 ) 

Phương trình có thông số đối xứng là gì?

Định nghĩa phương trình có thông số đối xứng

Phương trình có hệ số đối xứng bậc ( n ) là phương trình có dạng ( f(x) =0 ) vào đố ( f(x) ) là đa thức với không hề thiếu các số hạng bố trí từ bậc cao cho bậc rẻ ( ( x^n; x^n-1; … ; x; x^0 ) ) sao để cho từng cặp thông số cách phần đông hai đầu thì bởi nhau, tức là:

(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0)

Với (a_i=a_n-i) với ( i=0;1;2;…;n )

Ví dụ : (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a =0) là phương trình thông số đối xứng bậc ( 4 )

(ax^3+bx^2+bx+a=0) là phương trình thông số đối xứng bậc ( 3 )

Tính chất của phương trình có hệ số đối xứng

Phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn nếu tất cả nghiệm ( x_0 ) thì ( x_0 eq 0 ) cùng cũng thừa nhận (frac1x_0) là nghiệm.Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn luôn phân tích được bên dưới dạng : ( (x+1).f(x) ) vói ( f(x) ) là phương trình thông số đối xứng bậc chẵn.

Do đó:

Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm ( x=-1 )Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn.

Xem thêm: Top 20 Bài Hát Thiếu Nhi Về Mưa Hay Nhất Cho Bé, Bài Hát Về Mưa Cho Trẻ Mầm Non

Cách giải phương trình có hệ số đối xứng

Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên ở đây ta chỉ xét cách giải phương trình đối xứng bậc chẵn:

(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0) với ( n ) chẵn

Bước 1: vì ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình, phân chia cả nhì vế phương trình đến (x^fracn2)Bước 2: Đặt (t=x+frac1x) với điều kiện ( |t| geq 2 ) , biến đổi phương trình nhận được về phương trình ẩn ( t )Bước 3: Sau khi tìm kiếm được ( t ) , giải phương trình (t=x+frac1x) để tìm ra ( x )

Ví dụ:

Giải phương trình : ( 3x^4+7x^3+7x+3 =0 )

Cách giải:

Do ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình yêu cầu chia cả hai vế phương trình đến ( x^2 ) ta được :

(3x^2+7x+frac7x+frac3x^2=0)

(Leftrightarrow 3(x^2+frac1x^2)+7(x+frac1x)=0)

(Leftrightarrow 3(x+frac1x)^2-6+7(x+frac1x)=0)

Đặt (t=x+frac1x). ĐK : (|t| geq 2)

Phương trình vẫn cho tương đương với :

(3t^2+7t-6=0 Leftrightarrow (t+3)(3t-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarraylt=-3 \ t=frac32endarray ight.)

Do (|t| geq 2) đề xuất ( t=-3 )

Vậy ta có:

(x+frac1x=-3 Leftrightarrow x^2+3x+1=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x= frac-3+sqrt52\x=frac-3-sqrt52 endarray ight.)

Bài viết trên đây của thuocmaxman.vn đã giúp cho bạn tổng hợp triết lý và các cách thức giải hệ phương trình đối xứng loại 1 nhiều loại 2 cũng tương tự những câu chữ liên quan. Mong muốn kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho mình trong quy trình học tập và nghiên cứu về chủ thể hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn luôn học tốt!.