Một số hệ thức về cạnh và đường cao

     

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của chính nó trên cạnh huyền

Trong tam giác vuông, bình phương từng cạnh góc vuông bởi tích của cạnh huyền cùng hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh và đường cao

Trong tam giác ABC vuông trên A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"

2. Một số hệ thức liên quan đến mặt đường cao


a) Định lý 1

vào một tam giác vuông, bình phương mặt đường cao ứng cùng với cạnh huyền bởi tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền

trong tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b".c".

b) Định lý 2

vào một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với mặt đường cao tương ứng

trong tam giác ABC vuông trên A ta có: a.h = b.c

c) Định lý 3

vào tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương con đường cao ứng với cạnh huyền bởi tổng những nghịch hòn đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

*

3. Các dạng toán hay gặp về một số hệ thức về cạnh và mặt đường cao trong tam giác vuông

 

*

Dạng 1: Tính độ dài những đoạn trực tiếp trong tam giác vuông

Phương pháp giải: đến tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai vào sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn sót lại bằng bài toán vận dụng các hệ thức (1)→(5)

Dạng 2: Chứng minh những hệ thức tương quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng những hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý và phải chăng theo hướng:

Bước 1. Chọn các tam giác vuông phù hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.

Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và mặt đường cao.

Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức bắt buộc chứng minh.

Chú ý: rất có thể vẽ thêm hình phụ để chế tác thành tam giác vuông hoặc chế tạo thành mặt đường cao vào tam giác vuông từ kia vận dụng những hệ thức.

4. Ví dụ cầm thể

Cho tam giác ABC vuông tại A, con đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.

Xem thêm: Khi Các Công Ty Phân Biệt Giá Họ Biến, Chiến Lược Giá Cả Của Doanh Nghiệp

a) Tính những cạnh của tam giác ABC.

b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.

Hướng dẫn:

*

Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm

b) Tam giác ABC vuông trên A, ta tất cả AH.BC = AB.AC, suy ra

*

AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy bh = 5,4cm. Từ kia HC = BC - bảo hành = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính bh như sau:

AB2 = BH.BC suy ra

*

5. Bài bác tập từ bỏ luận

Bài 1: Tính x, y trong số trường hợp sau

*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông trên A, mặt đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC tất cả AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông trên A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Xem thêm: Bộ Đề Kiểm Tra Hóa 8 Chương 2 Năm 2020 Đề 1, Đề Kiểm Tra 45 Phút Chương Ii: Phản Ứng Hóa Học

Ta có DA + DB = AB

⇔ da + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông trên A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo lắp thêm tự D cùng E. Tính DE.