Phương trình quy về bậc nhất bậc hai

     

Phương trình quy về phương trình hàng đầu bậc hai

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.

Bạn đang xem: Phương trình quy về bậc nhất bậc hai

Giải và biện luận phương trình

ax + b = 0 (1)


Khi a ≠ 0 phương trình (1) được call là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Giải cùng biện luận phương trình bậc hai

a

*
+ bx + c = 0, (a ≠ 0) (2)

3. Định lí Vi-ét.

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2, thì:

Ngược lại, nếu hai số u với v gồm tổng u + v = S và tích uv = p thì u cùng v là hai nghiệm của phương trình

*
– Sx + p = 0.

4. Phương trình tất cả nghiệm trùng phương a

*
+ b
*
+ c = 0, (a ≠ 0) hoàn toàn có thể đưa về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt t =
*
, (t ≥ 0).

5. Có thể khử dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình chứa án trong lốt giá trị tuyệt đối nhờ thực hiện định nghĩa:

Đặc biệt, đối với phương trình |f(x)| = |g(x)|, ta có:

6. Khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bận nhì ta thường bình phương nhị vế để khử vết căn thức và mang đến một phương trình hệ quả.

B. BÀI TẬP MẪU

BÀI 1

Giải với biện luận các phương trình sau theo tham số m

Giải

a)

*
(x + 1) – 1 = (2 – m)x

⇔ (

*
+ m – 2)x = 1 –
*

⇔ (m – 1)(m + 2)x = -(m – 1)(m + 1).

Nếu m = 1 thì bao gồm mọi số thực x rất nhiều là nghiệm của phương trình.

Nếu m = -2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Điều khiếu nại của phương trình là x ≠ 2. Khi đó ta có:

Nghiệm này thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại của phương trình đã đến khi còn chỉ khi

hay -2m – 4 ≠ 2m – 4 ⇔ m ≠ 0.

Với m = 2 phương trình (3) biến đổi 0, x = -8, phương trình này vô nghiệm, vì vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

BÀI 2

Cho phương trình bậc hai

*
+ (2m – 3)x +
*
– 2m = 0

a) khẳng định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) với cái giá trị làm sao của m thì phương trình gồm hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải

a) Phương trình bao gồm hai nghiệm rõ ràng khi biểu thức Δ > 0. Ta có

Vậy khi m

b) Phương trình tất cả hai nghiệm m ≤ 9/4. Theo định lí Vi-ét ta có:

BÀI 3

Cho phường m

*
+ (
*
– 3)x + m = 0

a) xác minh m nhằm phương trình tất cả nghiệm kép cùng tìm nghiệm kép đó.

b) với giá trị nào của m thì phương trình x1, x2 thỏa mãn

Giải

a) Phương trình gồm nghiệm kép m ≠ 0 và Δ = 0. Ta có

Δ =

*
– 4
*
=
*
– 10
*
+ 9.

Phương trình trùng phương

*
– 10
*
+ 9 = 0 có bốn nghiệm m = ±1 và m = ±3

Với m = 1 hoặc m = -3 phương trình vẫn cho tất cả nghiệm kép x = 1.

Với m = -1 hoặc m = 3 phương trình đã cho bao gồm nghiệm kép x = -1.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là

m ≠ 0 và Δ =

*
– 10
*
+ 9 ≥ 0

Theo định lí Vi-ét ta có

BÀI 4.

Giải phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:

Hướng dẫn: khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được một phương trình hệ quả. Bởi vậy, khi tìm ra những giá trị của ẩn số, ta bắt buộc thử lại xem quý giá đó có vừa lòng phương trình đã cho hay không.

Giải

a) Điều khiếu nại của phương trình là x ≥ 9/4. Ta có.

b) Điều khiếu nại của phương trình là

*
– 7x + 10 ≥ 0

Ta có

Thử lại ta thấy phương trình sẽ cho duy nhất nghiệm x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình đã mang đến x = 1.

BÀI 5.

Giải cùng biện luận các phương trình sau theo thông số m

Giải

a) Ta xét nhị trường hợp

Với x ≥ 3m/4 phương trình đã mang đến trở thành

4x – 3m = 2x + m ⇔ 2x = 4m ⇔ x =2m.

Ta có 2m ≥ 3m/4 ⇔ m ≥ 0.

Vậy với m ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = 2m.

Xem thêm: Streamer Wag Muối Sinh Năm Bao Nhiêu, Tiểu Sử Streamer Wag Bác Gấu

Với x

-4x + 3m = 2x + m ⇔ 6x = 2m ⇔ x =m/3.

Kết luận: cùng với m > 0 phương trình bao gồm nghiệm x = 2m cùng x = m/3

Với m = 0 phương trình tất cả nghiệm x = 0

Với m

b) Ta có

Ta thấy

(1) ⇔ x = 2m + 1

(2) ⇔ 5x = -1 ⇔ x = -1/5

Hay nghiệm này trùng nhau lúc 2m + 1 = -1/5 ⇔ 2m = -6/5 ⇔ m = -3/5.

Kết luận. Với m ≠ -3/5 phương trình tất cả hai nghiệm phân biệt

x = 2m + 1 và x = -1/5

Với m = -3/5 phương trình có nghiệm kép x = -1/5.

Ghi chú. Vì nhị vế của phương trình là đông đảo biểu thức ko âm buộc phải ta cũng hoàn toàn có thể bình phương nhị vế để được một phương trình tương đương.

c) Điều kiện của phương trình x ≠ -1. Lúc ấy ta có

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = <(2m – 1)x + 2>(x + 1)

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = (2m – 1)

*
+ (2m + 1)x + 2

⇔ (2m – 1)

*
+ (m – 2)x – 6m = 0 (*)

Với m = 1/2 phương trình (*) trở thành

Gia trị x = -2 thỏa mãi điều kiện của phương trình sẽ cho.

Với m ≠ 1/2 phương trình (*) là một trong những phương trình bậc hai có biệt thức

Δ =

*
+ 24m(2m – 1)

= 49

*
– 28m + 4

=

*
 ≥ 0.

Khi m ≠ 2/7 phương trình (*) gồm 2 nghiệm phân biệt

C. BÀI TẬP

3.13. Giải và biện luận theo thông số m các phương trình sau:

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.14. Cho phương trình

(m + 2)

*
+ (2m + 1)x + 2 = 0.

a) khẳng định m nhằm phương trình có hai nghiệm trái dấu với tổng hai nghiệm bằng -3.

b) với giá trị như thế nào của m thì phương trình tất cả nghiệm kép? tìm nghiệm kép đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.15. Cho phương trình

9

*
+ (2m + 1)x + 2 = 0

a) chứng minh rằng với m > 2 phương trình bao gồm hai nghiệm sáng tỏ âm.

b) khẳng định m nhằm phương trình bao gồm hai nghiệm x1, x2

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.16. Giải phương trình.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.17

Giải cùng biện luận theo tham số m các phương trình sau:

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

Bài tập trắc nghiệm

3.18 Nghiệm của phương trình:

A. X = -2/3 B. X = 1

C. X = 1 cùng x = -2/3 D. X = -1/3

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.19 Trong các giá trị làm sao sau đây, giá trị nào là nghiệm của phương trình

|3x – 4| =

*
+ x – 7

A. X = 0 và x = -2 B. X = 0

C. X = 3 D. X = -2

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.20 kiếm tìm nghiệm của phương trình:

A. X = 1/2 B. X = 1

C. X = 0 D. Phương trình vô trình.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.21 Nghiệm của phương trình:

A. X = 0 và x = 1 B. X = 1 và x = 2

C. X = 0 với x = 2 D. X = 0 và x = 1

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.22 Nghiệm của phương trình |

*
– 3x – 4| = |4 – 5x| là:

A. X = 0, x = 2, x = 8 với x = – 4

B. X = 0 cùng x = 4

C. X= – 2 và x = 4

D. X = 1 cùng x = -4

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.23 Phương trình

(m + 1)

*
– 3(m – 1)x + 2 = 0

có một nghiệm gấp rất nhiều lần nghiệm kia khi giá trị của thông số m là:

A. M = 1 B. M = -1

C. M = 0 hoặc m = 3 D. M = 2

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.24.

Xem thêm: Tên Các Loại Bánh Dễ Thương, Tên Gọi Các Loại Bánh Phương Tây

Phương trình 

3

*
+ 5x + 2(m + 1) = 0

Có nhì nghiệm âm rõ ràng khi thông số m nằm trong khoảng nào sau đây?

A. 0

B. -1

C. -2

D. -1

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.25 tìm m để phương trình

*
+ 2(m + 1)x + 2(m + 6) = 0 có hai nghiệm x1, x2 nhưng x1 + x2 = 4