TOÁN HÌNH 11 TRANG 105

     

Hướng dẫn giải bài bác §3. Đường thẳng vuông góc với phương diện phẳng, Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ nam nữ vuông góc trong không gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11 bao gồm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập hình học tất cả trong SGK sẽ giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Toán hình 11 trang 105


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Đường trực tiếp $a$ được call là vuông góc với khía cạnh phẳng ((alpha)) nếu a vuông góc với mọi đường trực tiếp $a$ nằm trong mặt phẳng ((alpha)).

Kí hiệu: (a ot left ( alpha ight ))

*

Ta có: (a ot mp(alpha) Leftrightarrow a ot c,forall c subset (alpha))

2. Điều khiếu nại để mặt đường thẳng vuông góc với phương diện phẳng

Định lí: Nếu một con đường thẳng vuông góc với hai tuyến phố thẳng giảm nhau cùng thuộc một khía cạnh phẳng thì nó vuông góc với khía cạnh phẳng ấy.

*

Hệ quả: Nếu một con đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính hóa học 1: Có tuyệt nhất một khía cạnh phẳng đi qua 1 điểm đến trước cùng vuông góc với một đường thẳng đến trước.

*

Tính chất 2: Có tuyệt nhất một mặt đường thẳng đi qua 1 điểm mang đến trước cùng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng đến trước.

*

4. Liên hệ giữa quan lại hệ tuy nhiên song cùng quan hệ vuông góc của con đường thẳng cùng mặt phẳng

Tính chất 1: Cho hai đường thẳng tuy nhiên song. Khía cạnh phẳng nào vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với con đường thẳng kia.

(left. eginarrayl a//b\ left( alpha ight) ot a endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot b)


Hai con đường thẳng rõ ràng cùng vuông góc với một phương diện phẳng thì song song cùng với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ b ot (alpha )\ a e b endarray ight} Rightarrow a//b)

*

Tính hóa học 2: Cho hai mặt phẳng tuy vậy song. Đường thẳng làm sao vuông góc với khía cạnh phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ left( alpha ight)//left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot left( eta ight))

Hai mặt phẳng phân minh cùng vuông góc cùng với một con đường thẳng thì tuy vậy song với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ a ot left( eta ight)\ left( alpha ight) e left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight)//left( eta ight))

*

Tính chất 3: Cho mặt đường thẳng a với mặt phẳng (left ( alpha ight )) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc cùng với (left ( alpha ight )) thì cũng vuông góc cùng với a.

(left. eginarrayl a//(alpha )\ b ot left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow b ot a)


Nếu một mặt đường thẳng với một phương diện phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng không giống thì chúng tuy vậy song với nhau.

(left. eginarrayl a ot b\ b ot left( alpha ight)\ a otsubset left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow a//left( alpha ight))

*

5. Phép chiếu vuông góc với định lí ba đường vuông góc


Định nghĩa: Phép chiếu tuy nhiên song lên khía cạnh phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) hotline là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc: Cho mặt đường thẳng d bên trong mặt phẳng (left ( alpha ight )) cùng b là đường thẳng không thuộc (left ( alpha ight )) bên cạnh đó không vuông góc cùng với (left ( alpha ight )). Call b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (left ( alpha ight )). Kho đó a vuông góc với b khi và chỉ còn khi a vuông góc cùng với b’.

*

6. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

Góc giữa con đường thẳng d không vuông góc với phương diện phẳng (left ( alpha ight )) là góc giữa d với hình chiếu d’ của nó trên khía cạnh phẳng (left ( alpha ight )).

*

Đặc biệt: trường hợp d vuông góc với khía cạnh phẳng (left ( alpha ight )) thì ta bảo rằng góc giữa con đường thẳng d và mặt phẳng (left ( alpha ight )) là 900.


Dưới đây là phần phía dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập trong mục buổi giao lưu của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 100 sgk Hình học 11

Muốn minh chứng đường thẳng $d$ vuông góc với một mặt phẳng $(α)$, tín đồ ta đề xuất làm như thế nào?

Trả lời:

Muốn chứng minh đường trực tiếp $d$ vuông góc cùng với một phương diện phẳng $(α)$, bạn ta phải chứng tỏ $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng $(α)$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 100 sgk Hình học tập 11

Cho hai đường thẳng $a$ cùng $b$ song song với nhau. Một con đường thẳng $d$ vuông góc cùng với $a$ với $b$. Khi ấy đường thẳng $d$ bao gồm vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai tuyến đường thẳng tuy vậy song $a$ với $b$ không ?

Trả lời:


Không vày trái cùng với định lí ($a // b$ thì $a$ và $b$ không giảm nhau)

Dưới đây là phần chỉ dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

thuocmaxman.vn ra mắt với các bạn đầy đủ cách thức giải bài xích tập hình học 11 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11 của bài xích §3. Đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng vào Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ nam nữ vuông góc trong không khí trong mặt phẳng cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học 11

1. Giải bài 1 trang 104 sgk Hình học 11

Cho hai đường thẳng riêng biệt (a,b) với mặt phẳng ((alpha)). Các mệnh đề sau đây đúng xuất xắc sai?

a) trường hợp (a//(alpha)) với (bot (alpha)) thì (aot b).

b) ví như (a//(alpha)) cùng (bot a) thì (bot (alpha)).


c) giả dụ (a//(alpha)) cùng (b// (alpha)) thì (b//a).

d) nếu như (aot (alpha)) cùng (bot a) thì (b// (alpha)).

Bài giải:

a) Đúng (theo tính chất).

Xem thêm: Viết Đoạn Văn Tả Cảnh Đẹp Ở Địa Phương Em Yêu Thích Ở Địa Phương Em

b) Sai. Vì chưng thiếu điều kiện: muốn (bot (alpha)) thì $b$ bắt buộc vuông góc với $2$ mặt đường thẳng giảm nhau vào $(alpha )$.

c) Sai. Vị $a$ với $b$ gồm thể chéo cánh nhau hoặc giảm nhau.

d) Sai. Bởi vì $b$ rất có thể nằm vào $(alpha )$.

2. Giải bài xích 2 trang 104 sgk Hình học tập 11

Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm hai khía cạnh $ABC$ và $BCD$ là nhì tam giác cân có chung đáy $BC$. Call $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

a) minh chứng rằng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(ADI)$

b) hotline $AH$ là con đường cao của tam giác $ADI$, minh chứng rằng $AH$ vuông góc với phương diện phẳng $(BCD).$

Bài giải:

*

a) Tam giác (ABC) cân tại (A) cần ta có đường trung tuyến ứng với cạnh lòng đồng thời là con đường cao bởi đó: (AIot BC)

Tương từ ta có: (DIot BC)

Ta có:

(left. matrixAI ot BC hfill crDI ot BC hfill crAI cap DI = m I m hfill cr ight} Rightarrow BC ot (ADI))

b) Ta gồm (AH) là con đường cao của tam giác (ADI) đề nghị (AHot DI)

Mặt khác: (BCot (ADI)) nhưng (AHsubset (ADI)) buộc phải (AHot BC)

Ta có

(left. matrixAH ot BC hfill crAH ot DI hfill crBC cap DI = m I m hfill cr ight} Rightarrow AH ot (BCD))

3. Giải bài bác 3 trang 104 sgk Hình học tập 11

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) và gồm (SA=SB=SC=SD).Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD). Chứng minh rằng:

a) Đường trực tiếp (SO) vuông góc với phương diện phẳng ((ABCD));

b) Đường thẳng ( AC) vuông góc với phương diện phẳng ((SBD)) và con đường thẳng (BD) vuông góc với phương diện phẳng (SAC).

Bài giải:

*

a) Theo mang thiết (SA=SC) bắt buộc tam giác (SAC) cân nặng tại (S)

Có: (O) là giao của hai đường chéo cánh hình bình hành cần (O) là trung điểm của (AC) với (BD).

Do đó (SO) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao vào tam giác (SAC)

⇒ (SOot AC) (1)

Chứng minh tương tự như ta được: (SOot BD) (2)

Từ (1) cùng (2) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp AC \ SO& perp BD \ AC& cap BD endmatrix ight}Rightarrow SOperp (ABCD)$

b) (ABCD) là hình thoi có $AC,BD$ là nhì đường chéo cánh nên (ACot BD) (Tính hóa học hình bình hành) (3)

Từ (1) và (3) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp AC \ AC& perp BD \ SO& cap BD endmatrix ight}Rightarrow ACperp (SBD)$

Từ (2) và (3) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp BD \ AC& perp BD \ SO& cap AC endmatrix ight}Rightarrow BDperp (SAC)$

4. Giải bài 4 trang 105 sgk Hình học tập 11

Cho tứ diện (OABC) có bố cạnh (OA, OB, OC) song một vuông góc. Hotline (H) là chân con đường vuông góc hạ từ (O) tới khía cạnh phẳng ((ABC)). Chứng tỏ rằng:

a) $H$ là trực vai trung phong của tam giác (ABC);

b) (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2.)

Bài giải:

*

Kéo nhiều năm $AH$ cắt $BC$ trên $E, CH$ cắt $AB$ tại $K.$

a) chứng minh $H$ là trực trọng điểm tam giác ABC.

(H) là hình chiếu của (O) trên mp ((ABC)) (gt) buộc phải (OH ⊥ (ABC) Rightarrow OH ⊥ BC) (Tính chất)

Mặt khác: (OA ⊥ OB), (OA ⊥ OC) (gt) mà $OB cap OC$

(Rightarrow OA ⊥ (OBC) Rightarrow OA ⊥ BC) (Tính chất)

Ta có:

$left.eginmatrix OH& perp BC \ OA& perp BC \ OH& cap OA endmatrix ight}Rightarrow BCperp (OAH)$

mà: (AHsubset (OAH) Rightarrow BC ⊥ AH) (1)

Chứng minh tương tự: (OA ⊥ OC), (OB ⊥ OC) (gt) mà $OA cap OB$

(Rightarrow OC ⊥ (OAB) Rightarrow OC ⊥ AB) (Tính chất)

Ta có:

$left.eginmatrix OH& perp AB \ OC& perp AB \ OH& cap OC endmatrix ight}Rightarrow ABperp (OHC)$

mà: (CHsubset (OHC) Rightarrow AB ⊥ HC) (2)

Từ (1) (2) (Rightarrow H) là trực vai trung phong của tam giác (ABC).

b) Chứng minh: (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2)

Trong khía cạnh phẳng ((ABC)) vì chưng (E = AH ∩ BC), (OH ⊥ (ABC)), (AE ⊂ (ABC) Rightarrow OH ⊥ AE) tại (H); (OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) Rightarrow OA ⊥ OE)

⇒ (OH) là đường cao của tam giác vuông (OAE)

⇒ (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OE^2) (3)

Mặt không giống (OE) là đường cao của tam giác vuông (OBC)

⇒ (frac1OE^2=frac1OB^2+frac1OC^2)

Thay vào (3) ta có:

(frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OE^2 =frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2.)

5. Giải bài xích 5 trang 105 sgk Hình học tập 11

Trên phương diện phẳng ((α)) cho hình bình hành (ABCD). Call (O) là giao điểm của (AC) và (BD). (S) là một trong những điểm nằm những thiết kế phẳng ((α)) thế nào cho (SA = SC, SB = SD). Chứng minh rằng:

a) (SO ⊥ (α));

b) trường hợp trong phương diện phẳng ((SAB)) kẻ (SH) vuông góc với (AB) trên (H) thì (AB) vuông góc khía cạnh phẳng ((SOH)).

Bài giải:

*

a) Theo đưa thiết: (SA = SC) phải tam giác (SAC) cân nặng tại (S).

Lại có: (O) là trung điểm của (AC) yêu cầu (SO) là mặt đường trung đường đồng thời là con đường cao của tam giác cân $SAC$ đề xuất (SOot AC)

Chứng minh giống như với $SB=SD$, $O$ là trung điểm của $BD$ ta có: (SOot BD)

Ta có:

$$left. matrixSO ot BD hfill crSO ot AC hfill crBD cap AC = m O hfill cr ight} Rightarrow SO ot (ABCD)$$

Hay (SO ⊥ mp(α)) (đpcm).

b) (SO ⊥ (ABCD) Rightarrow SO ⊥ AB) (1)

Mà (SH ⊥ AB) (gt) (2)

Từ (1) cùng (2) ta có;

$$left. matrixSO ot AB hfill crSH ot AB hfill crSO cap SH = m S hfill cr ight} Rightarrow AB ot (SHO)$$

6. Giải bài bác 6 trang 105 sgk Hình học 11

Cho hình chóp (S.ABCD) tất cả đáy là hình thoi (ABCD) và tất cả cạnh (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD)). Gọi (I) và (K) là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh (SB) với (SD) làm sao để cho (fracSISB=fracSKSD.) bệnh minh:

a) (BD) vuông góc với (SC);

b) (IK) vuông góc với khía cạnh phẳng ((SAC)).

Bài giải:

*

a) Ta có: $BDperp AC$ (tính chất đường chéo hình thoi)

Lại có: $SAperp (ABCD)$ (gt)

$BDsubset (ABCD)Rightarrow BDperp SA$

Ta có: $left.eginmatrix BD& perp AC \ BD& perp SA \ AC& cap SA endmatrix ight}Rightarrow BDperp (SAC)$

mà $SCsubset (SAC)Rightarrow BDperp SC$.

b) Theo đưa thiết (fracSISB=fracSKSD) theo định lí Ta-lét ta tất cả (IK//BD)

Từ chứng tỏ câu a) ta có:

$BDperp (SAC)$ $Rightarrow IKperp (SAC)$

7. Giải bài bác 7 trang 105 sgk Hình học 11

Cho tứ diện (SABC) bao gồm cạnh (SA) vuông góc với phương diện phẳng ((ABC)) và tất cả tam giác (ABC) vuông trên (B). Trong phương diện phẳng ((SAB)) kẻ từ (AM) vuông góc cùng với (SB) tại (M). Bên trên cạnh (SC) mang điểm (N) sao cho (fracSMSB=fracSNSC.) chứng tỏ rằng:

a) (BC ⊥ (SAB)) với (AM ⊥ (SBC));

b) (SB ⊥ AN).

Bài giải:

*

a) hội chứng minh: $BCperp (SAB)$

Theo đưa thiết: $SA perp (ABC)$ nhưng $BCsubset (ABC)Rightarrow SAperp BC$

Tam giác ABC vuông tại B đề nghị $ABperp BC$

Vậy: $left.eginmatrix SA& perp BC \ AB& perp BC \ SA& cap AB endmatrix ight}Rightarrow BCperp (SAB)$

Chứng minh: $AMperp (SBC)$

Ta có: $AMsubset (SAB),BCperp (SAB)Rightarrow BCperp AM$

Vậy: $left.eginmatrix AM& perp BC (cmt)\ AM& perp SB (gt) \ BC& cap SB endmatrix ight}Rightarrow AMperp (SBC)$

b) Theo đưa thiết: (AM ⊥ (SBC)) đề xuất (AMot SB)

Giả thiết (fracSMSB=fracSNSC) đề xuất theo định lí Ta – lét ta có: (MN// BC)

Mà (BCot SB) (do (BCot (SAB))) vì vậy (MNot SB)

Vậy:

$left.eginmatrix MN& perp SB (cmt)\ AM& perp SB (cmt) \ AM& cap MN endmatrix ight}Rightarrow SBperp (AMN)Rightarrow SBperp MN$

8. Giải bài bác 8 trang 105 sgk Hình học 11

Cho điểm (S) không thuộc thuộc mặt phẳng ((α)) gồm hình chiếu là vấn đề (H). Cùng với điểm (M) bất kỳ trên ((α)) với (M) không trùng với (H), ta hotline (SM) là mặt đường xiên và đoạn (HM) là hình chiếu của mặt đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) hai tuyến phố thẳng xiên đều nhau khi và chỉ khi nhì hình chiếu của chúng bởi nhau;

b) Với hai tuyến đường xiên mang đến trước, mặt đường xiên làm sao lớn hơn thế thì có hình chiếu lớn hơn và trái lại đường xiên nào gồm hình chiếu lớn hơn vậy thì lớn hơn.

Bài giải:

*

Gọi (SN) là một trong những đường xiên khác.

a) Xét nhị tam giác vuông (SHM) với (SHN) có (SH) cạnh chung.

Nếu (SM = SN Rightarrow ∆SHM = ∆SHN (c-g-c))

(Rightarrow HM = HN).(2 cạnh tương ứng)

Ngược lại giả dụ (HM = HN) thì (∆SHM = ∆SHN (c-g-c))

(Rightarrow SM = SN). (2 cạnh tương ứng)

Vậy: Hai con đường thẳng xiên cân nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bởi nhau.

b) Xét tam giác vuông (SHM) với (SHN) có (SH) cạnh chung.

Giả sử (SN > SM)

Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông (SHM) và (SHN) ta được:

(HM^2=SM^2-SH^2)

(HN^2=SN^2-SH^2)

(Rightarrow hà nội > HM).

Ngược lại: đưa sử $HN>HM$

Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông (SHM) với (SHN) ta được:

(SM^2=HM^2+SH^2)

(SN^2=HN^2+SH^2)

(Rightarrow SN > SM).

Vậy: Với hai tuyến đường xiên đến trước, đường xiên như thế nào lớn hơn thế thì có hình chiếu to hơn và trái lại đường xiên nào bao gồm hình chiếu lớn hơn thế thì lớn hơn.

Xem thêm: 50+ Hình Ảnh Của Kudo Shinichi Đẹp Nhất, Hình Ảnh Kudo Shinichi

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào cực nhọc đã gồm thuocmaxman.vn“


This entry was posted in Toán lớp 11 and tagged bài xích 1 trang 100 sgk Hình học tập 11, bài 1 trang 104 hình học 11, bài xích 1 trang 104 sgk Hình học 11, bài xích 2 trang 100 sgk Hình học tập 11, bài 2 trang 104 hình học tập 11, bài bác 2 trang 104 sgk Hình học 11, bài 2 trang 104 sgk Hình học tập 11, bài bác 3 trang 104 hình học tập 11, bài bác 3 trang 104 sgk Hình học 11, bài xích 3 trang 104 sgk Hình học 11, bài xích 3 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài xích 3 trang 105 sgk Hình học 11, bài xích 4 trang 105 hình học tập 11, bài bác 4 trang 105 sgk Hình học 11, bài bác 4 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài 5 trang 105 hình học 11, bài xích 5 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài xích 5 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài xích 6 trang 105 hình học 11, bài 6 trang 105 sgk Hình học 11, bài 6 trang 105 sgk Hình học 11, bài bác 7 trang 105 hình học 11, bài bác 7 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài xích 7 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài bác 8 trang 105 hình học 11, bài 8 trang 105 sgk Hình học 11, bài 8 trang 105 sgk Hình học tập 11, câu 1 trang 100 hình học 11, Câu 1 trang 100 sgk Hình học 11, Câu 1 trang 104 sgk Hình học 11, câu 2 trang 100 hình học tập 11, Câu 2 trang 100 sgk Hình học 11, Câu 2 trang 104 sgk Hình học 11, Câu 3 trang 104 sgk Hình học 11, Câu 3 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 4 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 5 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 6 trang 105 sgk Hình học tập 11, Câu 7 trang 105 sgk Hình học tập 11, Câu 8 trang 105 sgk Hình học tập 11.