Trung Tuyến Của Tam Giác

     

Công thức tính độ dài trung đường trong tam giác & các dạng bài tập

Sau đây trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ share đến chúng ta công thức tính độ nhiều năm trung con đường trong tam giác rất hay và các dạng toán mến gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc chắn thêm phần kỹ năng và kiến thức Hình học 12 vô cùng đặc biệt này các bạn nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC 


1. Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến đường trong tam giác là gì?

Bạn đã xem: công thức tính độ lâu năm trung đường trong tam giác & các dạng bài bác tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là một đường thẳng trải qua trung điểm của đường thẳng đó


Đường trung con đường trong tam giác là 1 trong đoạn trực tiếp nối từ đỉnh của tam giác tới những cạnh đối lập nó. Mỗi tam giác bao gồm 3 đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Trung tuyến của tam giác

2. Tính chất của mặt đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải có tính hóa học của con đường trung con đường khác nhau.

Đường trung tuyến đường trong tam giác thường bao gồm 3 tính chất như sau:

3 đường trung tuyến trong tam giác thuộc đi sang 1 điểm, đặc điểm này cách đỉnh tam giác một khoảng chừng bằng độ dài của đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 mặt đường trung tuyến đường được hotline là trọng tâmVị trí trung tâm trong tam giác: trung tâm của 1 tam giác giải pháp mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài con đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.

Tính hóa học đường trung đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trường hợp đặc trưng của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc bao gồm độ lớn là 90 độ, với hai cạnh khiến cho góc này vuông góc với nhau.

– do đó, mặt đường trung con đường của tam giác vuông đang có tương đối đầy đủ những đặc thù của một con đường trung tuyến đường tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, mặt đường trung con đường ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác tất cả trung con đường ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính hóa học đường trung tuyến đường của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung tuyến ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc cùng với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bởi nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài mặt đường trung tuyến của cạnh ngẫu nhiên bằng căn bậc 2 của 1 phần hai tổng bình phương nhì cạnh kề trừ 1 phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c theo thứ tự là các cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là số đông đường trung đường trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, bao gồm BC = a, CA = b và AB = c. Chứng tỏ rằng giả dụ b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung con đường kẻ từ bỏ B và C của tam giác vuông góc cùng với nhau.

Xem thêm: Tạm Biệt Chuyến Xe Anh Đi Về Đâu, Lời Bài Hát Hôm Nay Tôi Buồn

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 6)" />

Gọi D và E thứu tự là trung điểm của AB và AC, G là giữa trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng phương pháp trung con đường trong tam giác ABC ta có:

*
công thức tính độ dài con đường trung tuyến đường (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến đường kẻ tự B với C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC tất cả BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung tuyến đường từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung con đường ta có:

*
công thức tính độ dài đường trung đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài các đường trung con đường (là độ lâu năm đoạn thẳng) nên nó luôn luôn dương, do đó:

*
công thức tính độ dài mặt đường trung tuyến (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai tuyến phố trung con đường BD với CE cắt nhau tại G. Kéo dãn dài AG giảm BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB với tam giác AHC.

b. Hotline I với K theo lần lượt là trung điểm của GA cùng GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài đường trung đường (ảnh 11)" />

a. Ta bao gồm BD là đường trung đường của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là giữa trung tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G phải AH là con đường trung con đường của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB cùng tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG yêu cầu CI là đường trung đường của tam giác AGC (1)

Ta lại sở hữu KG = KC nên AK là con đường trung đường của tam giác AGC (2)

DG là đường trung tuyến đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung tuyến đường CI, AK, DG đồng quy trên I

Bài 2: Cho tam giác ABC bao gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Từ Hà Nội Đến Phú Thọ Bao Nhiêu Km, Gợi Ý Các Phương Tiện Từ Hà Nội Đi Phú Thọ

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung tuyến từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng cách làm trung con đường ta có:

*

Vì độ dài những đường trung con đường (là độ dài đoạn thẳng) bắt buộc nó luôn luôn dương, bởi vì đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Minh chứng MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta tất cả MI là con đường trung tuyến của ∆MNP đề nghị IN = IP

Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M

=> mày vừa là con đường trung tuyến vừa là đường cao

=> ngươi ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC tất cả AB = AC, điện thoại tư vấn K là giao điểm của hai tuyến phố trung đường BM và CN. Chứng tỏ rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
phương pháp tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
công thức tính độ dài con đường trung đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là con đường trung tuyến)

MA = MC (MB là mặt đường trung tuyến)

Suy ra NM là con đường trung bình của tam giác ABC

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền cần AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông trên A, vận dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương từ bỏ ta xét tam giác AFB vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ giữa trung tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài tía đường trung con đường của tam giác ABC. Xác định nào sau đấy là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng phương pháp trung con đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC bao gồm AB = 3, BC = 5 và độ dài con đường trung tuyến 

*
. Độ lâu năm AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung tuyến đường của tam giác ABC, áp dụng công thức trung con đường ta có:

*

Đáp án B