Ứng Dụng Tích Phân Tính Diện Tích

     

Bài viết hướng dẫn áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng trải qua tổng hợp lý thuyết, phân dạng, các bước giải toán và những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kỹ năng và những ví dụ trong bài viết được xem thêm từ các tài liệu nguyên hàm, tích phân và vận dụng đăng cài trên thuocmaxman.vn.

Bạn đang xem: ứng dụng tích phân tính diện tích

Lý thuyết đề nghị nắm:1. Diện tích của hình tròn và của hình elípa. Hình tròn bán kính $R$ có diện tích $S = pi R^2.$b. Hình elíp $left( E ight)$: $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ có diện tích $S = pi ab.$2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường conga. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số $y = fleft( x ight)$ ($fleft( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho vày công thức: $S = intlimits_a^b left .$b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ và đồ dùng thị của nhì hàm số $y = f_1left( x ight)$ và $y = f_2left( x ight)$ ($f_1left( x ight)$ và $f_2left( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) được cho do công thức: $S = intlimits_a^b f_1(x) – f_2(x) ight .$

Dạng 1: Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = fleft( x ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$), trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$+ Bước 1: gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b left .$+ Bước 2: Xét vệt biểu thức $fleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a;b ight>$ thành những đoạn nhỏ, trả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà lại trên từng đoạn $fleft( x ight)$ chỉ có một dấu.+ Bước 3: Khi đó: $S = intlimits_a^c_1 left dx + intlimits_c_1^c_2 dx$ $ + … + intlimits_c_k^b left dx.$

Chú ý: Nếu câu hỏi phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $x = m fleft( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó phương pháp tính diện tích s là: $S = intlimits_a^b dy .$

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$ và $x = frac2pi 3.$b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 1$, trục hoành, trục tung và con đường thẳng $x = 2.$

a. Ta có: $S = intlimits_0^2pi /3 comathop m s olimits x + 1 ight $ $ = intlimits_0^2pi /3 (comathop m s olimits x + 1)dx $ $ = left( sin x + x ight)left| _0^2pi /3 ight.$ $ = fracsqrt 3 2 + frac2pi 3.$b. Ta có: $S = intlimits_0^2 left .$Xét hàm số: $fleft( x ight) = x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, ta có: $x^3 – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 + m x m + m 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x m = m 1.$Bảng xét dấu:

*

Khi đó: $S = intlimits_0^1 x^3 – 1 ight + intlimits_1^2 left $ $ = intlimits_0^1 left( 1 – x^3 ight)dx + intlimits_1^2 left( x^3 – 1 ight)dx $ $ = left( x – fracx^44 ight)left| _0^1 ight. + left( fracx^44 – x ight)left| _1^2 ight. = frac72.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên:+ Ở câu 1.a bọn họ chỉ việc áp dụng công thức cùng rất nhận xét $cosx + 1 ge 0$ nhằm phá vệt trị giỏi đối. Tự đó, nhận được giá trị của tích phân.+ Ở câu 1.b họ cần xét dấu nhiều thức $x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, để từ bỏ đó tách tích phân $S$ thành các tích phân nhỏ dại mà trên đó biểu thức $x^3 – 1$ không âm hoặc không dương.

Xem thêm: Soạn Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 7 (Chi Tiết), Soạn Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 7

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ và trục hoành.b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$ và trục hoành.

Xem thêm: Cuộc Thi Vẽ Về Tương Lai Và Nụ Cười Rạng Rỡ, Tương Lai Tươi Sáng”

a. Ta có hoành độ giao điểm của đồ gia dụng thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ cùng trục hoành là:$ – x^2 + 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_1^2 dx $ $ = intlimits_1^2 left( – x^2 + 3x – 2 ight)dx $ $ = left. left( – frac13x^3 + frac32x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = frac16.$b. Ta tất cả hoành độ giao điểm của đồ gia dụng thị hàm số $y = x^2 – 2x$ và trục hoành là:$x^3 – 2x^2 – x + 2 m = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 dx $ $ = intlimits_ – 1^1 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ + intlimits_1^2 dx $$ = intlimits_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight)dx $ $ + intlimits_1^2 left( – x^3 + 2x^2 + x – 2 ight)dx $$ = left. left( frac14x^4 – frac23x^3 – frac12x^2 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( – frac14x^4 + frac23x^3 + frac12x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = 3.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên bọn họ đều cần tìm kiếm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:+ Ở câu 2.a vì chưng phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm cần hàm số dưới dấu vết phân chỉ tất cả một dấu.+ Ở câu 2.b vì chưng phương trình hoành độ có ba nghiệm đề nghị tích phân $S$ buộc phải được bóc thành nhị tích phân nhỏ.Dạng toán 2: Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị nhị hàm số $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$ (liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$) hai đường thẳng $x = a$, $x = b$+ Bước 1: hotline $S$ là diện tích s cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b left .$+ Bước 2: Xét dấu biểu thức $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ kia phân được đoạn $left< a,b ight>$ thành những đoạn nhỏ, giả sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà trên từng đoạn $fleft( x ight) – gleft( x ight)$ chỉ gồm một dấu.+ Bước 3: lúc đó: $S = I = intlimits_a^c_1 dx + $ $… + intlimits_c_k^b dx .$

Chú ý: Nếu việc phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị nhì hàm số $x = f_1left( y ight)$ và $x = f_2left( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) và hai tuyến phố thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó cách làm tính diện tích là: $S = intlimits_a^b left .$

Ví dụ 3: Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị các hàm số $y = 4-x^2$, $y = -x + 2.$b. Đồ thị các hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$

a. Hoành độ giao điểm của hai thiết bị thị là nghiệm của phương trình:$4–x^2 = –x + 2$ $ Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^2 – x – 2 ight $ $ = – intlimits_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx $ $ = – left. left( frac13x^3 – frac12x^2 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac276.$b. Hoành độ giao điểm của hai vật thị là nghiệm của phương trình:$lnx = -lnx$ $ Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ Leftrightarrow lnx = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Khi đó: $S = intlimits_1^e left $ $ = 2intlimits_1^e ln x.dx .$Đặt: $left{ eginarraylu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = xendarray ight.$ $ Rightarrow S = 2left( left. X.ln x ight ight)$ $ = 2left( e – left. X ight ight)$ $ = 2.$

Ví dụ 4: Cho hàm số: $left( C ight)$: $y = fracx^2x^2 + 1$. Tìm $b$ sao cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi $left( C ight)$ và những đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $fracpi 4.$

Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có:$S = intlimits_0^b | frac mx^ m2 mx^ m2 + 1 – 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow intlimits_ m0^b | frac mx m ^ m2 – x^2 – 1 mx m ^ m2 + 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| intlimits_0^b fracdx mx^ m2 + 1 ight|$ $ = fracpi 4$ $(1).$Đặt $x = tant$, $ – fracpi 2 Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = alpha $ (với $tanalpha = b$ và $ – fracpi 2 lúc đó: $(1) Leftrightarrow left| intlimits_0^alpha dt ight|$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| t ight|left| eginarraylalpha \0endarray ight.$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| alpha ight| = fracpi 4$ $ Leftrightarrow b = pm 1.$