Xét tính hội tụ không tham số

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng một số loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) khẳng định trên

Nếu tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì số lượng giới hạn này điện thoại tư vấn là tích phân suy rộng lớn của f(x) bên trên
Bạn đang xem: Xét tính hội tụ không tham số

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

*
là quy tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn trên ta nói tích phân suy rộng

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(do

*
)

Vậy: I quy tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Lúc đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy ví dụ trên ta bao gồm chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường đúng theo f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) ko âm cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở ở kề bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn). Khi đó:

Nếu
*
quy tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

Xem thêm: Gạch 30X30 1 Thùng Gạch 30X30 Bao Nhiêu Tiến, 1 Thùng Gạch 30X30, 30X45, 30X60 Bao Nhiêu Viên

1.4.2 Định lý đối chiếu 2:

Giả sử f(x) với g(x) ko âm với cùng khả tích bên trên , và f(x) ≤ g(x) ở kề bên +∞ ( có nghĩa là x đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự quy tụ của tích phân

*
, ta nên xây dựng hàm g(x) thế nào cho
*
. Nghĩa là, f(x) và g(x) là nhị lượng tương đương.

Muốn vậy, ta bắt buộc nhận diện và thay thế sửa chữa các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả nhị hàm f(x) và g(x) đề xuất cùng khả tích bên trên

1.5 các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định và tiếp tục với hầu như x ở trong
*
.

Khi

*
: lnx là VCL nhưng không kiếm được VCL tương tự tương ứng. Vị vậy, ta không sử dụng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Mong muốn vậy, đề xuất chặn hàm lnx. Ta thuận lợi có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( vì chưng tích phân

*
phân kỳ).

Ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

lưu ý hàm mang tích phân, ta thấy:

khi

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) và g(x) thuộc khả tích bên trên <1;+∞) đề nghị

*
*
cùng hội tụ hoặc thuộc phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác định và tiếp tục với các

*
, còn g(x) không xác định tại x = 0 cần ta không thể cần sử dụng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, bóc I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– bởi vì

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác minh và tiếp tục trên <0;1> đề nghị
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân khẳng định nên hội tụ.

Xem thêm: Top 3 Con Giáp Gặp Đại Hạn Năm 2017, 3 Con Giáp Gặp Đại Hạn Năm 2017

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> đề nghị hội tụ.